Правосторонняя асимметрия

Симметричные и асимметричные распределения. Показатели асимметрии и эксцесса для характеристики асимметричных рядов распределения

Правосторонняя асимметрия

При анализе вариационных рядов смещение от центра и крутизну распределения характеризуют специальные показатели. Эмпирические распределения, как правило, смещены от центра распределения вправо или влево, асимметричны. Нормальное распределение строго симметрично относительно средней арифметической, что обусловлено четностью функции.

Асимметрия распределения возникает вследствие того, что какие-либо факторы действуют в одном направлении сильнее, чем в другом, или процесс развития явления таков, что доминирует какая-то причина. Кроме того, природа некоторых явлений такова, что имеет место асимметричное распределение.

Наиболее простой мерой асимметрии является разность между средней арифметической, модой и медианой:

– в симметричном ряду: = Мо = Ме;

– при правосторонней асимметрии: Мо < Ме < ;

– при левосторонней: Мо > Ме > .

Для определения направления и величины смещения (асимметрии) распределения рассчитывается коэффициент асимметрии, представляющий собой нормированный момент третьего порядка:

As = m3/s3, где m3 – центральный момент третьего порядка; s3 – среднее квадратическое отклонение в кубе. m3 = (m3 – 3m1 m2 + 2m13)k3.

При левосторонней асимметрии коэффициент асимметрии (As0) .

Если вершина распределения сдвинута влево и правая часть ветви оказывается длиннее левой, то такая асимметрия является правосторонней, в противоположном случае левосторонней .

Рис. Асимметрия распределения: а – правосторонняя; б – левосторонняяРис. Характеристика распределений в соответствии с эксцессом: 1 – высоковершинное; 2 – нормальное; 3 – низковершинное

Соотношение между модой, медианой и средней арифметической в симметричном и асимметричном рядах позволяет в качестве меры асимметрии использовать более простой показатель коэффициента асимметрии Пирсона:

Кa = (–Мо)/s. Если Кa>0, то асимметрия правосторонняя, если Кa 0, то асимметрию можно считать значительной, если < 0,25 асимметрию можно считать не значительной.

Для характеристики степени отклонения симметричного распределения от нормального по ординате используется показатель островершинности, крутизны распределения, называемый эксцессом:

Ex = (m4/s4) – 3, где: m4 – центральный момент четвертого порядка.

Для нормального распределения Ех = 0, т.е. m4/s4 = 3. m4 = (m4 – 4m3 m1 + 6m2 m21 – 3 m41)*k4.

У высоковершинных кривых эксцесс положительный, у низковершинных отрицательный (рис. Г.2).

Показатели эксцесса и асимметрии необходимы в статистическом анализе для определения неоднородности совокупности, асимметричности распределения и близости эмпирического распределения к нормальному закону.

При значительных отклонениях показателей асимметрии и эксцесса от нуля нельзя признать совокупность однородной, а распределение близким к нормальному.

Сопоставление фактических кривых с теоретическими позволяет математически обосновать полученные статистические результаты, установить тип и характер распределения социально-экономических явлений, прогнозировать вероятность появления изучаемых событий.

Обоснование близости эмпирического (фактического) распределения к теоретическому нормальному распределению. Нормальное распределение (закон Гаусса-Лапласа) и его характеристики. «Правило трех сигм». Критерии согласия (на примере критерия Пирсона или Колгомогорова).

Можно заметить определенную связь в изменении частот и значений варьирующего признака. Частоты с ростом значения признака сначала увеличиваются, а затем после достижения какой-то максимальной величины уменьшаются. Такие закономерные изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределения.

Для выявления закономерности распределения необходимо, чтобы вариационный ряд содержал достаточно большое количество единиц, а сами ряды представляли собой качественно однородные совокупности.

Построенный по фактическим данным полигон распределения – это эмпирическая (фактическая) кривая распределения, отражающая не только объективные (общие), но и субъективные (случайные) условия распределения, не характерные для изучаемого явления.

В практической работе закон распределения находят путем сравнения эмпирического распределения с одним из теоретических и оценки степени различия или соответствия между ними.

Теоретическая кривая распределения отражает в чистом виде, без учета влияния случайных факторов, общую закономерность распределения частот (плотности распределения) в зависимости от значений варьирующих признаков.

В статистике распространены различные виды теоретических распределений: нормальное, биномиальное, Пуассона и др. Каждое из теоретических распределений имеет свою специфику и область применения.

Закон нормального распределения характерен для распределения равновероятных событий, происходящих при взаимодействии множества случайных факторов. Закон нормального распределения лежит в основе статистических методов оценки параметров распределения, репрезентативности выборочных наблюдений, измерения взаимосвязи массовых явлений.

Для проверки, насколько фактическое распределение соответствует нормальному, необходимо сравнить частоты фактического распределения с теоретическими частотами, характерными для нормального закона распределения.

Эти частоты являются функцией нормированных отклонений. Поэтому по данным эмпирического ряда распределения вычисляют нормированные отклонения t. Затем определяют соответствующие им теоретические частоты.

Таким образом, выравнивается эмпирическое распределение.

Нормальное распределение или закон Гаусса-Лапласа описывается уравнением , где yt – ордината кривой нормального распределения, или частость (вероятность) величины х нормального распределения; – математическое ожидание (среднее значение) индивидуальных значений х.

Если значения (х – ) измерить (выразить) в величинах среднего квадратического отклонения s, т.е. в стандартизованных (нормированных) отклонениях t = (x – )/s, то формула примет вид: .

Нормальное распределение социально-экономических явлений в чистом виде встречается редко, однако, если соблюдена однородность совокупности, часто фактические распределения близки к нормальному.

Закономерность распределения изучаемых величин выявляют посредством проверки соответствия эмпирического распределения теоретически нормальному закону распределения. Для этого фактическое распределение выравнивается по кривой нормального и рассчитываются критерии согласия.

Нормальное распределение характеризуется двумя существенными параметрами, определяющими центр группирования индивидуальных значений и форму кривой: средней арифметической и средним квадратическим отклонением s.

Кривые нормального распределения различаются положением на оси абсцисс центра распределения и разбросом вариант около этого центра s (рис. Г.3, Г.4).

Особенностью кривой нормального распределения является ее симметричность относительно центра распределения – по обе стороны от ее середины образуются две равномерно убывающие ветви, асимптотически приближающиеся к оси абсцисс. Поэтому при нормальном распределении средняя, мода и медиана совпадают: = Мо = Ме.

-3s -2s -s s 2s 3s x

Рис. Г.3. Нормальное распределениеРис. Г.4. Нормальное распределение с различными дисперсиями (s12 < s22)

Кривая нормального распределения имеет две точки перегиба (переход от выпуклости к вогнутости) при t = ±1, т.е. при отклонении вариантов от средней (х – ), равном среднему квадратическому отклонению s.

В пределах ± s при нормальном распределении заключается 68,3%, в пределах ± 2s – 95,4%, в пределах ± 3s – 99,7% количества наблюдений или частот ряда распределения.

На практике почти не встречаются отклонения, превышающие ±3s, поэтому приведенное соотношение называется «правилом трех сигм».

Для расчета теоретических частот применяется формула:

.

Величина есть функция от t или плотность нормального распределения, которая определяется по специальной таблице, выдержки из которой приведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1. Значения плотности нормального распределения

tj(t)tj(t)tj(t)tj(t)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,80,3989 0,3910 0,3683 0,3332 0,28971,0 1,2 1,4 1,6 1,80,2420 0,1942 0,1497 0,1109 0,07902,0 2,2 2,4 2,6 2,80,0540 0,0355 0,0224 0,0136 0,00793,0 3,2 3,4 3,6 3,80,0044 0,0024 0,0012 0,0006 0,0003

График на рис. 9.1 наглядно демонстрирует близость эмпирического (2) и нормального (1) распределений.

Рис. 9.1. Распределения филиалов почтовой связи по численности работников: 1 – нормальное; 2 – эмпирическое.

Для математического обоснования близости эмпирического распределения закону нормального распределения рассчитываются критерии согласия.

Критерий Колмогорова – критерий согласия, позволяющий оценить степень близости эмпирического распределения к нормальному. А. Н.

Колмогоров предложил для определения соответствия между эмпирическим и теоретическим нормальным распределениями использовать максимальную разность накопленных частот или частостей этих рядов.

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения закону нормального распределения рассчитывают критерий согласия l = D/ , где D – максимальная разность между кумулятивными (накопленными) эмпирическими и теоретическими частотами, n – численность единиц совокупности.

По специальной таблице определяют Р(l) – вероятность достижения l, которая означает, что если вариационный признак распределен по нормальному закону, то из-за случайных причин максимальное расхождение между эмпирическими и теоретическими накопленными частотами будет не меньшим, чем фактически наблюденное.

На основании значения Р(l) делают определенные выводы: если вероятность Р(l) достаточно велика, то гипотезу о соответствии фактического распределения нормальному закону можно считать подтвержденной; если вероятность Р(l) мала, то нулевая гипотеза отвергается, расхождения между фактическим и теоретическим распределениями признаются существенными.

Значения вероятностей для критерия согласия l:

lР(l)lР(l)lР(l)
0,31,0000,80,5441,50,022
0,40,9970,90,3991,80,013
0,50,9641,00,272,00,006
0,60,8641,10,182,10,003
0,70,7111,20,112,30,000

Критерии Пирсона c2 (“хи-квадрат”) – критерий согласия, позволяющий оценить степень близости эмпирического распределения к нормальному:,где fi, f'i – частоты эмпирического и теоретического распределений в определенном интервале.

Чем больше разность между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше критерий c2.

Чтобы отличить существенность различий частот эмпирического и теоретического распределений по критерию c2 от различий в результате случайностей выборки, рассчитанное значение критерия c2расч сравнивают с табличным c2табл при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости.

Уровень значимости выбирается так, что Р(c2расч>c2табл) = a. Число степеней свободы равно h–l, где h – число групп; l – число условий, которые должны выполняться при вычислении теоретических частот.

Для расчета теоретических частот кривой нормального распределения по формуле необходимо знать три параметра , s, Sf, поэтому число степеней свободы равно h–3. Если c2расч>c2табл, т.е.

c2 попадает в критическую область, то расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами существенно и его нельзя объяснить случайными колебаниями выборочных данных.

В этом случае нулевая гипотеза отвергается. Если c2расч£ c2табл, т.е. рассчитанный критерий не превышает максимально возможное расхождение частот, которое может возникнуть в силу случайности, то в данном случае гипотеза о соответствии распределений принимается.

Критерий Пирсона эффективен при значительном числе наблюдений (n³50), причем частоты всех интервалов должны насчитывать не менее пяти единиц (при меньшем количестве интервалы объединяют), а число интервалов (групп) должно быть большим (h>5), поскольку оценка c2 зависит от числа степеней свободы.

Критерий Романовского – критерий согласия, позволяющий оценить степень близости эмпирического распределения к нормальному. В.И. Романовский предложил близость эмпирического распределения к кривой нормального распределения оценивать по отношению:

, где h – число групп.

Если отношение больше 3, то расхождение частот эмпирического и нормального распределений нельзя признать случайным и гипотезу о нормальном законе распределения следует отвергнуть. Если отношение меньше или равно 3, то можно принять гипотезу о нормальном характере распределения данных.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/1_88404_simmetrichnie-i-asimmetrichnie-raspredeleniya-pokazateli-asimmetrii-i-ekstsessa-dlya-harakteristiki-asimmetrichnih-ryadov-raspredeleniya.html

Изучение формы распределения

Правосторонняя асимметрия

Для применения многих видов статистического анализа необходимо, чтобы исходные данные по форме распределения удовлетворяли определенным критериям. В большинстве случаев требуется нормальное, или симметричное, распределение данных.

Кривая нормального распределения представляет собой симметричную колоколообразную фигуру с одной вершиной, правая и левая ветви которой равномерно и симметрично убывают, асимптотически приближаясь к оси абсцисс.

Если вариация признака вызвана множеством случайных факторов, ни один из которых не является доминирующим, то распределение данных соответствует нормальному распределению. Если же на признак повлияли какие-то неслучайные факторы, то распределение будет отличаться от нормального.

Безусловно, ни одно эмпирическое распределение не имеет форму, точно соответствующую этой идеальной модели, но многие распределения достаточно близки к ней, чтобы сделать допущение об их «нормальности». В связи с этим при изучении таких распределений возникает необходимость количественно оценить это различие.

Существует несколько способов определения того, является ли распределение нормальным (симметричным). Часто нормальность проверяется по правилу трех сигм, суть которого отражена на графике рис. 7.1.

Рис. 7.1. Кривая нормального распределения

В условиях нормального распределения существует зависимость между величиной среднего квадратичного отклонения и количеством наблюдений: в пределах х±1о располагается 0,683, или 68,3%, количества наблюдений; в пределах х ± 2а располагается 0,954, или 95,4%, количества наблюдений; в пределах х ±3а — 0,997, или 99,7%, количества наблюдений. Если наблюдаемые значения признака отличаются от средней величины не более чем на За, то распределение считают нормальным.

Часто характер асимметричности определяют по соотношению средней арифметической, медианы и моды. Для симметричного распределения эти величины совпадают:

При правосторонней асимметрии х >Ме> М0 распределение данных имеет вытянутую правую ветвь (рис. 7.2).

Средняя величина в этом случае может и не быть типической характеристикой изучаемой совокупности, так как на нее влияют несколько очень больших значений признака.

При правосторонней асимметрии большинство единиц совокупности имеют значение признака, превышающее модальное значение.

При левосторонней асимметрии х < Ме< М0 распределение данных имеет вытянутую левую ветвь (рис. 7.3). Средняя величина в этом случае также часто не является типической характеристикой изучаемой совокупности, так как на нее влияют несколько очень малых значений признака. При левосторонней асимметрии большинство единиц совокупности имеют значение признака меньше модального.

Рис. 7.2. Правосторонняя асимметрия

Рис. 7.3. Левосторонняя асимметрия

Покажем анализ симметричности распределения с помощью обобщающих характеристик на следующем примере.

Пример 7.6. При изучении производительности труда на предприятии были получены следующие значения показателей: х = 25; Ме = 28; М0 = 30. Под производительностью понимается количество деталей, изготовленных одним рабочим за смену, т.е. выработка.

Поскольку х < Ме < М0, то имеет место левосторонняя асимметрия. Выработка продукции большинства рабочих меньше 30 деталей за смену. Или иначе — в распределении более вероятны такие значения выработки, которые не превышают 30 деталей за смену.

Характер и степень асимметричности распределения можно определить с помощью специальных показателей — коэффициентов асимметрии и эксцесса распределения.

Моментный коэффициент асимметрии характеризует скошенность эмпирического (наблюдаемого) распределения влево или вправо относительно нормального распределения. Если As > О, то для распределения характерна правосторонняя асимметрия, если As 0,5 асимметрия значительна.

Моментный коэффициент асимметрии исчисляется по формуле

где — центральный момент третьего порядка; ст — среднее

квадратичное отклонение.

Существенность асимметрии можно оценить с помощью отношения абсолютной величины коэффициента к его стандартной ошибке: если это отношение больше 3, то асимметрия в распределении данных считается существенной. Стандартная ошибка коэффициента асимметрии вычисляется по формуле

где п — объем изучаемой совокупности.

При исчислении моментного коэффициента асимметрии и его стандартной ошибки рекомендуется исключать из анализа резко отличающиеся единицы (выбросы).

Эксцесс — показатель, характеризующий плосковершинность или островершинность распределения. Он показывает отклонение вершины эмпирического распределения от вершины кривой нормального распределения вверх или вниз. Эксцесс рассчитывают только для симметричных распределений по формуле

где — центральный момент четвертого порядка.

Если Ех > 0, то распределение островершинное (рис. 7.4), если Ех

strongПлосковершинное распределение/strong/p pСущественность эксцесса можно оценить с помощью отношения абсолютной величины эксцесса к его стандартной ошибке: если это отношение больше 3, то отклонение от нормального распределения существенно. Стандартная ошибка эксцесса вычисляется по формуле/p img src=”https://bstudy.net/htm/img/15/11404/129.

png” pгде iп/i — объем изучаемой совокупности./p pПокажем расчет показателей формы распределения на примере./p piПример 7.7./i Допустим, имеется информация о выработке продукции на предприятии (табл. 7.5). Оценим эти данные на симметричность распределения./p pТаблица 7.5/p pbПроизводительность труда рабочих предприятия/b/p table tr td pВыработка продукции одним рабочим за смену, шт.

/p /td td pКоличество рабочих/p /td /tr tr td p10-16/p /td td p5/p /td /tr tr td p16-22/p /td td p110/p /td /tr tr td p22-28/p /td td p182/p /td /tr tr td p28-34/p /td td p120/p /td /tr tr td p34-40/p /td td p90/p /td /tr tr td p40-46/p /td td p60/p /td /tr tr td p46-52/p /td td p45/p /td /tr tr td pВсего/p /td td p612/p /td /tr /table pРасчет удобнее проводить по этапам./p p1.

Как и в случае расчета средних показателей по сгруппированным данным, вместо интервалов в формулах будут использоваться их середины. Середины интервалов рассчитываются по формуле (6.9) и в нашем случае равны:/p img src=”https://bstudy.net/htm/img/15/11404/130.png” p2.

Исчислим средний уровень производительности труда рабочих по формуле средней арифметической взвешенной:/p p img src=”https://bstudy.net/htm/img/15/11404/131.png”/p p3. Рассчитаем дисперсию и среднее квадратичное отклонение по сгруппированным данным:/p p img src=”https://bstudy.net/htm/img/15/11404/132.png”/p p4. Исчислим центральный момент третьего порядка:/p p img src=”https://bstudy.

net/htm/img/15/11404/133.png”/p p5. Исчислим коэффициент асимметрии:/p p img src=”https://bstudy.net/htm/img/15/11404/134.png”/p pПоскольку А? > 0,5, асимметрия распределения значительна.

6. Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента асимметрии:

Отношение абсолютной величины коэффициента асимметрии к его стандартной ошибке:

Величина , следовательно, асимметрия существенна. И поскольку симметричность данных не подтвердилась, эксцесс распределения исчислять некорректно.

Альтернативные признаки — такие признаки, которыми обладают одни единицы совокупности и не обладают другие.

Вариация — различия в значениях какого-либо признака у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

Дисперсия — мера вариации; рассчитывается как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Коэффициент вариации — относительный показатель вариации, измеряющий последнюю в процентах.

Коэффициент изменчивости категорий — показатель вариации качественных признаков; рассчитывается как отношение наблюдаемой вариации признака к его максимально возможной вариации.

Левосторонняя асимметрия распределения — распределение данных с вытянутой левой ветвью, для которого характерно соотношение: х < Ме< М0.

Моментный коэффициент асимметрии — показатель, характеризующий скошенность эмпирического распределения влево или вправо относительно нормального.

Правило трех сигм — зависимость между величиной среднего квадратичного отклонения и количеством наблюдений в условиях нормального распределения.

Правосторонняя асимметрия распределения — распределение данных с вытянутой правой ветвью, для которого характерно соотношение: х > Ме > М0.

Размах вариации — абсолютный показатель вариации; рассчитывается как разность максимального и минимального значений признака в совокупности.

Среднее квадратичное отклонение — мера вариации; представляет собой корень квадратный из дисперсии.

Эксцесс — показатель, характеризующий плосковершинность или островершинность распределения.

Page 3

< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >

Посмотреть оригинал

  • 1. Что такое вариация и почему важно изучать вариацию признаков?
  • 2. Что характеризует размах вариации?
  • 3. Что характеризует среднее квадратичное отклонение?
  • 4. Какие исследовательские задачи позволяют решать относительные показатели вариации? Какие относительные показатели вариации вы знаете?
  • 5. Как по величине коэффициента вариации можно оценить типичность среднего значения?
  • 6. Средний уровень заработной платы на предприятии составляет 32 тыс. руб. Дисперсия по этому признаку равна 36. Чему равно среднее квадратичное отклонение? Является ли средний уровень заработной платы типической характеристикой изучаемой совокупности?
  • 7. В чем суть упрощенного способа расчета дисперсии?
  • 8. Чем различаются генеральная и выборочная дисперсии? Как можно оценить генеральную дисперсию по выборочной?
  • 9. В чем заключается правило сложения дисперсий?
  • 10. В чем специфика исследования вариации для качественных признаков?
  • 11. Что характеризует коэффициент вариации категорий и как интерпретировать его величину?
  • 12. Какие признаки называются альтернативными? Приведите пример.
  • 13. Как исчисляется дисперсия альтернативного признака и чему равно максимально возможное ее значение?
  • 14. В чем заключается правило трех сигм? Как оно применяется для оценки нормальности распределения?
  • 15. Что такое правосторонняя и левосторонняя асимметрии распределения?
  • 16. Как определить тип асимметрии по обобщающим статистическим показателям (моде, медиане, средней арифметической)?
  • 17. Что характеризует моментный коэффициент асимметрии и как с его помощью оценить форму распределения?
  • 18. Что характеризует эксцесс распределения и как с его помощью можно охарактеризовать форму распределения?

  Посмотреть оригинал

< Предыдущая СОДЕРЖАНИЕ Следующая >

Источник: https://bstudy.net/672078/sotsiologiya/izuchenie_formy_raspredeleniya

Показатели асимметрии и эксцесса распределений

Правосторонняя асимметрия

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывается относительный показатель асимметрии (Аs).

Существует несколько видов расчетов коэффициента асимметрии, например по формуле:

, где:

– средняя величина ряда распределения,

М0 – центральный момент распределения,

σ – среднее квадратическое отклонение.

Величина показателя асимметрии (Аs)может быть положительной иотрицательной.

Положительная величина показателя асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии (более длинная ветвь вправо).

Отрицательный знак показателя асимметрии говорит о наличии левосторонней асимметрии (более длинная ветвь влево).

Величина асимметрии может изменяться от -1 до +1 (для одновершинных распределений).

Чем больше абсолютная величина коэффициента асимметрии, тем больше степень скошенности вправо или влево.

Принято считать, что если коэффициент асимметрии Аs меньше 0,25. то асимметрия незначительная, а если Аs свыше 0,5, то асимметрия значительная.

При симметричном распределении Аs = 0, т.к. варианты равноудалены

от и имеют одинаковую частоту.

Заостренность или крутизна графика распределения вычисляется с использованием центрального момента четвертого порядка по формуле:

, где:

M4 – центральный момент четвертого порядка,

среднее квадратическое отклонение в четвертой степени.

При измерении асимметрии эталоном служит симметричное распределение, для которого А3 = 0.

Для нормального распределения показатель асимметрии четвертого порядка равен 3 (А4 = 3).

Для сравнения островершинности распределений в качестве эталонного выбирается нормальное распределение, которое сравнивается с фактическим и рассчитывается показатель эксцесса по формуле:

Эксцесс также может быть положительным и отрицательным.

У высоковершинных (островершинных) распределений показатель эксцесса (Ех) имеет положительный знак (+), а у низковершинных (плосковершинных) – отрицательный знак (-).

Предельным значением отрицательного эксцесса является значение

Ех= – 2, величина положительного эксцесса является величиной бесконечной.

Так как в нормальном распределении , следовательно, для нормального распределения показатель эксцесса равен нулю (Ех=0).

Средняя квадратическая ошибка эксцесса исчисляется по формуле:

, где:

n – число наблюдений.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное распределение к типу нормального распределения.

Распределения, близкие к нормальному распределению, встречаются при изучении самых различных явлений развития природы и общества.

Показатели формы распределения

Симметричное распределение (нормальное распределение)

Mo=Me

При симметричной форме распределении частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой: Аs = 0

Правосторонняя асимметрия

Mo Me

Положительная величина показателя асимметрии указывает на наличие правосторонней асимметрии:

As > 0

Левосторонняя асимметрия

Me Mo

Отрицательная величина показателя асимметрии указывает на наличие левосторонней асимметрии:

As< 0

Решение типовых задач

5.7.1.По данным распределения возраста студентов одного из факультетов ВУЗа определимразмах распределения, среднее линейное отклонение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

группы студентов по возрасту х, лет число студентов fi
A
3,7 13,69 136,9
2,7 7,29 510,3
1,7 2,89 231,2
0,7 0,49 49,0
0,3 0,09 10,8
1,3 1,69 270,4
2,3 5,29 476,1
Итого 1684,7

Решение:

Прежде всего находим самое маленькое значение возраста студентов

Xmin = 17 лет и самое большое Хmax = 23 года (графа А таблицы).

Находим разницу между максимальным и минимальным значением признака и получаем величину размаха, которая составляет:

R = 23 – 17 = 6 лет.

Для проведения дальнейших вычислений показателей вариации проведем дополнительные расчеты и запишем их в имеющуюся таблицу:

– определяем произведение значений признака(x ) на соответствующие веса (fi) (графа 6). В итоге получаем сумму, равную 13060.

– рассчитаем среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной:

= = = 20,7 года.

Для расчета среднего линейного отклонения находим абсолютное отклонение значений признака (x ) от средней величины ( ) по модулю (графа 2).

Вычисляем произведения отклонений на их веса (fi) и подсчитываем сумму их произведений. Эта сумма равна 883 (графа 3).

Делим эту сумму ( ) на сумму весов (fi), чтобы получить искомую величину :

= = 1,4 года.

Таково в среднем отклонение вариантов признака от их средней величины.

Возведем в квадрат отклонения индивидуальных значений признака от их средней и запишем результат в графу 4 таблицы.

Затем квадрат отклонений умножим на веса (fi) и подсчитаем сумму, которая равна 1684,7 (графа 5).

Разделим эту сумму (x – ) f на сумму весов f , чтобы получить величину дисперсии:

= = 2,67

Извлечем корень квадратный из дисперсии и получим величину среднего квадратического отклонения:

= = = 1,63 года

Таким образом, каждое индивидуальное значение возраста студентов отклоняется от их средней величины на 1,63 года.

5.7.2.Дисперсия признака равна 600. Объем совокупности равен 10. Сумма квадратов индивидуальных значений признака равна 6250.

Найдитесреднюю величину совокупности.

Решение:

Для нахождения средней величины воспользуемся методом отсчета от условного нуля или методом моментов:

= , где

средняя арифметическая из квадратов индивидуальных значений признака;

– квадрат среднего значения признака.

Тогда: = = =625.

Средняя величина признака:

.

5.7.3.Для характеристики однородности совокупности следует вычислить показатели вариации: дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации (вычисления выполнить в таблице).



Источник: https://infopedia.su/3x8195.html

Доктор Новиков
Добавить комментарий